Formelsammlung

Die Welt der Formeln

Vierecke

Rechteck

a b d

Definitionen

a = Kantenlänge 1
b = Kantenlänge 2
d = Diagonale
U = Umfang
A = Fläche

Umfang

U = 2 · a + 2 · b = 2 · (a + b)

Fläche

A = a · b

Satz des Pythagoras

d = a2 + b2

a = d2 + b2

b = d2 + a2

Quadrat

aad

Definitionen

a = Kantenlänge
d = Diagonale
U = Umfang
A = Fläche

Umfang

U = 4 · a

U = 2 · 2 · d

Fläche

A = a2

A =
d2
2

Satz des Pythagoras

d = 2 · a2

a =
d2
2

Rhombus (Raute)

ABCDaaaaααββef

Seitenlänge

a =
e
2
2 ·
f
2
2

Umfang

U = 4 · a

Fläche

A =
AC · BD
2
= a · ha = b · hb = a2 · sin(α) = a2 · sin(β)

Diagonalenlängen

e = AC = 2 · a · cos
α
2
= 2 · a · sin
β
2
f = BD = 2 · a · sin
α
2
= 2 · a · cos
β
2

Inkreisradius

ρ =
a · sin(α)
2

Trapez

ABCDabcdαβδγefSh

Umfang

U = a + b + c + d

Fläche

A =
a + c
2
· h

Fläche des überschlagenen oder verschränkten Trapezes

A =
h
2
·
a2 + c2
a + c

Höhe

h =
2 · A
(a + c)

h = b · sin(γ) = b · sin(β) = d · sin(δ) = d · sin(α)

wenn a < c
h =
2
(c – a)
· s · (s + a – c) · (s – b) · (s – d)mit: s =
b + c + d – a
2
wenn c < a
h =
2
(a – c)
· s · (s + c – a) · (s – b) · (s – d)mit: s =
a + b + d – c
2

Schwerpunkt

Abstand y des Schwerpunks S von der Seite c:

yS =
h · (c + 2 · a)
3 · (a + c)

Diagonalenlängen

e = a2 + b2 – 2 · a · b · cos(β) = c2 + d2 – 2 · c · d · cos(δ)

f = a2 + d2 – 2 · a · d · cos(α) = b2 + c2 – 2 · b · c · cos(γ)

Parallelogramm (Rhomboid)

ABCDababαββαθefhahb

Definitionen

α + β = 180°

Umfang

U = 2 · (a + b)

Höhen

ha = b · sin(α) = b · sin(β)

hb = a · sin(α) = a · sin(β)

Fläche

A = a · ha = b · hb

A = a · b · sin(α) = a · b · sin(β)

A =
e · f · sin(θ)
2

Diagonalen (Kosinussatz)

e = a2 + b2 – 2 · a · b · cos(β) = a2 + b2 + 2 · c · d · cos(α)

f = a2 + b2 – 2 · a · b · cos(α) = a2 + b2 + 2 · c · d · cos(β)

Parallelogrammgleichung

e2 + f2 = 2 · (a2 + b2)

Drachenviereck (Deltoid)

ABCDaabbef

Umfang

U = 2 · (a + b)

Inkreisradius

r =
2 · A
U
=
e · f
2 · (a + b)

Fläche

A =
e · f
2
= a · b · sin(α)

Sehnenviereck

ABCDabcdαβγδefKrrrr

Definition

Alle Eckpunkte dieses Vierecks liegen auf einem gemeinsamen Außenkreis.

α + β = γ + δ = 180°

Umfang

U = a + b + c + d

Fläche

A = (s – a) · (s – b) · (s – c) · (s – d) (Satz von Brahmagupta)mit: s =
U
2
A =
e · (a · b + c · d)
4 · r
=
f · (a · d + b · c)
4 · r

Diagonalen

e =
(a · c + b · d) · (a · d + b · c)
(a · b + c · d)
f =
(a · b + c · d) · (a · c + b · d)
(a · d + b · c)

Umkreisradius

r =
1
4 · A
· (a · b + c · d) · (a · c + b · d) · (a · d + b · c)

Satz von Ptolemäus

a · b + c · d = e · f

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