Formelsammlung

Die Welt der Formeln

Winkel

Winkelmaße

Vollwinkel

Es gibt verschiedene Winkelmaße, um die Weite eines ebenen Winkels sowohl in der Mathematik und als auch als physikalische Größe anzugeben.

aMα

Ein sogenannter Vollwinkel ist jener Winkel (α), bei dem ein Strahl (a), der um seinen Ursprung (M) gedreht wird, wieder seine Ausgangs­richtung erreicht. Dadurch bildet sich ein Kreis, der Vollwinkel – der Strahl dreht sich also einmal im Kreis.

Dieser Vollwinkel ist immer das Ausgangsmaß für die einzelnen Winkelmaß-Einheiten, ausgenommen die Prozentangaben bei Steigungen.

Winkelmaß-Einheiten

Grad

Der Vollwinkel wird in 360 gleiche Teile unterteilt. Ein Teil wird als ein Grad bezeichnet. Das Formelzeichen für Grad ist ein hochgestellter kleiner Kreis (°).

Grad kann sowohl im Dezimalsystem als auch im Sexagesimalsystem (Sechzigersystem) dargestellt werden.

Dezimalsystem

Im Dezimalsystem werden Angaben, die kleiner als 1° sind, als Kommastellen als Zehntel, Hundertstel … dargestellt.

1 Vollwinkel = 360°

Beispiele: 61,75° oder 183,22°

Sexagesimalsystem

Im Sexagesimalsystem werden Angaben, die kleiner als 1° sind, zunächst als „Minuten“ (abgekürzt mit einem hochgestellten kleinen Strich), dann als „Sekunden“ (abgekürzt mit zwei hochgestellten kleinen Strichen) und als „Tertien“ (abgekürzt mit drei hochgestellten kleinen Strichen) dargestellt.

1° entspricht 60, 1 enspricht 60, 1 entspricht 60.

Beispiele: 20° 12 33 45 oder 257° 0 12

Das Sexagesimalsystem wird vor allem für die Darstellung von geographische Längen- und Breitenangaben verwendet. Dafür wurde ein gedachtes Koordinatensystem auf der Erdoberfläche (mit sich rechtwinklig schneidenden Längen- und Breitenkreisen) entwickelt.

Bogenmaß
Im Bogenmaß wird der Vollwinkel mit 2π angegeben. Der Teil, der
1
2π
entspricht, wird als Radiant bezeichnet und mit rad abgekürzt.

Zur Berechnung des Winkels wird von einem Kreis ausgegangen, dem der Strahl (a), von dem aus der Winkel berechnet werden soll, als Radius zugrunde liegt. 1 rad entspricht dabei einem Kreisbogen, der die Länge des Radius hat.

1 Vollwinkel = 2π rad

Beispiele: 0,75 rad oder π rad

Umrechnung in Grad

2π rad = 360°

π rad = 180°

1 rad =
360°
2π
=
180°
π
57,2957795…°
1° =
2π
360
rad =
π
180
rad 0,0174533… rad

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